Bärförmågan för en träbalk med urtag

Bild 1.

Kontrollera kapaciteten för balken i figuren ovan med hänsyn till brottgränstillståndet. Balken är tillverkad av limträ GL30c och tvärsnittet är 90×315 mm. Klimatklass 1, säkerhetsklass 3 och lastvaraktighetsklass M.

Den dimensionerande lasten har bestämts till q_d = 5,1 kN/m.

Dimensionerande böjmoment är:

\(\displaystyle {M_{\rm Ed}} = \frac{{{q_\rm d}{{\ell }^2}}}{8} = \frac{{5,1 \cdot {{5,2}^2}}}{8} = 17,2\,{\rm{ kNm}}\)

Dimensionerande tvärkraft är:

\(\displaystyle {V_{\rm Ed}} = \frac{{{q_\rm d}{\ell }}}{2} = \frac{{5,1 \cdot 5,2}}{2} = 13,3\,{\rm{ kN}}\)

Det karakteristiska värdet för böjhållfastheten är f_m,k = 30 MPa.

Modifieringsfaktor för lastvaraktighet och klimatklasser kan hämtas från Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Avsnitt 3.2, med lastvaraktighetsklass M och klimatklass 1 erhålls faktorn k_mod = 0,8.

Materialfaktor för limträ, γ_M = 1,25.

Storleksfaktor för tvärsnittshöjder 231 mm ≤ h < 600 mm, k_h = (600 / 315)^0,1 = 1,07 (Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Avsnitt 3.3).

Dimensioneringsvärde för böjhållfastheten:

\(\displaystyle {f_{\rm m,d}} = {k_\rm h}\frac{{{k_{\bmod }}{f_{\rm m,k}}}}{{{\gamma _\rm M}}} = 1,07\frac{{0,8 \cdot 30}}{{1,25}} = 20,5\,{\rm{ MPa}}\)

det vill säga böjmomentet begränsas av:

\(\displaystyle {M_{\rm Rd}} = {f_{\rm m,d}}W = 20,5 \cdot {10^3} \cdot \frac{{0,09 \cdot {{0,315}^2}}}{6} = 30,5\,{\rm{ kNm}}\)

det vill säga den momentupptagande förmågan är tillräcklig, förutsatt att balken inte kan vippa.

Karakteristiskt värde för skjuvhållfastheten f_v,k = 3,5 MPa.

Därmed erhålls det dimensionerande värdet för skjuvhållfastheten ur:

\(\displaystyle {f_{\rm v,d}} = \frac{{{k_{\bmod }}{f_{\rm v,k}}}}{{{\gamma _\rm M}}} = \frac{{0,80 \cdot 3,5}}{{1,25}} = 2,24\,{\rm{MPa}}\)

Det dimensionerande värdet för tvärkraftskapaciteten erhålls ur:

\(\displaystyle {V_{\rm Rd}} = \frac{2}{3}A \cdot {f_{\rm v,d}}\;{\rm{kN}}\)

Enligt det nationella tillägget i Sverige, för närvarande EKS 11 (BFS 2019:1), bör värdet på A bestämmas grundat på b_ef för ett konstruktionselement utsatt för böjmoment. Den effektiva bredden b_ef erhålls ur:

\(\displaystyle {b_{\rm ef}} = {k_{\rm cr}}b\)

där k_cr = 3,0 / f_v,k = 0,86 för limträ, ej exponerat för nederbörd och solstrålning. Detta ger följande för det dimensionerande värdet för tvärkraftskapaciteten:

\(\displaystyle {V_{\rm Rd}} = \frac{2}{3}{k_{{\mathop{\rm cr}\nolimits} }}A \cdot {f_{\rm v,d}} = \frac{2}{3} \cdot 0,86 \cdot 0,09 \cdot 0,315 \cdot 2,24 \cdot {10^3} = 36,3\,{\rm{ kN}}\)

Detta visar att V_Ed < V_Rd, det vill säga att balken har tillräcklig tvärkraftskapacitet.

Härefter måste områdena med urtag kontrolleras. I Eurokod 5: Avsnitt 6.5.2, fastställs det att det följande bör verifieras (se även Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Avsnitt 8.3):

\(\displaystyle {\tau _\rm d} = \frac{{1,5{V_{{\mathop{\rm Ed}\nolimits} }}}}{{{b_{\rm ef}}{h_{\rm ef}}}} \le {k_\rm v}{f_{\rm v,d}}\)

där h_ef är den reducerade tvärsnittshöjden för balken vid urtaget och k_v är en reduktionsfaktor definierad som följer för balkar med urtag på samma sida som upplaget.

\(\displaystyle {k_\rm v} = \min \left\{ \begin{array}{l} 1\\ \frac{{{k_\rm n}\left( {1 + \displaystyle \frac{{1,1{i^{1,5}}}}{{\sqrt h }}} \right)}}\displaystyle {{\sqrt h \left( {\sqrt {\alpha \left( {1 - \alpha } \right)} + 0,8\frac{x}{h}\sqrt {\frac{1}{\alpha } - {\alpha ^2}} } \right)}} \end{array} \right.\)

där:

i är lutningen på urtaget

h är balkhöjden uttryckt i mm

x är avståndet från upplagsreaktionens verkningslinje till urtagets hörn, i mm

\(\displaystyle \alpha = \frac{{{h_{\rm ef}}}}{h}\)

k_n = 6,5 för limträ.

Balkbredd: b = 90 mm

Balkhöjd: h = 315 mm

Urtagets höjd i båda ändarna av balken: h_notch = 115 mm

Urtagets lutning: i = 0

Effektiv balkhöjd i båda ändar: h_ef = 200 mm

Förhållande h_ef / h: α = h_ef / h = 0,63

Längden av urtaget, från ändupplagets centrumlinje: x = 150 mm

\(\displaystyle {k_\rm v} = \min \left\{ \begin{array}{l} 1\\ \\ \\ \displaystyle \frac{{6,5 \cdot \left( {1 +\displaystyle  \frac{{1,1 \cdot {0^{1,5}}}}{{\sqrt {315} }}} \right)}}{{\sqrt {315} \left( {\sqrt {0,63\left( {1 - 0,63} \right)} + 0,8 \cdot \displaystyle \frac{{150}}{{315}}\sqrt {\frac{1}{{0,63}} - {{0,63}^2}} } \right)}} = 0,41 \end{array} \right.\)

Skjuvspänningen är:

\(\displaystyle {\tau _\rm d} = \frac{{1,5 \cdot 13,3 \cdot {{10}^{ - 3}}}}{{0,86 \cdot 0,09 \cdot 0,2}} = 1,29\,{\rm{MPa}}\)

medan den reducerade skjuvhållfastheten ges av:

\(\displaystyle {k_\rm v}{f_{\rm v,d}} = 0,41 \cdot 2,24 = 0,92\,{\rm{MPa}}\)

Detta innebär att den urtagna balken inte har tillräcklig bärförmåga.

Vidare beräkningar ger att det skulle kunna vara möjligt med ett urtag motsvarande 16 procent av den totala tvärsnittshöjden, för att fortfarande ha tillräcklig tvärkraftskapacitet. Alternativt skulle urtagen kunna förstärkas till exempel med träskruv.