Dimensionering av en rak träbjälke

Publicerad 2017-07-05

Uppdaterad 2019-10-07

En fritt upplagd rektangulär bjälke utsätts för karakteristisk permanent belastning g_k = 0,5 kN/m² och karakteristisk variabel last q_k = 2,0 kN/m² med medellång varaktighet. Den fria spännvidden ℓ är 4,5 m och bjälkarna är placerade med 0,6 m centrumavstånd.

Bjälken är del av ett inomhusbjälklag. Klimatklass 1 och säkerhetsklass 2.

Dimensionera bjälken i konstruktionsvirke, hållfasthetsklass C24, för böjande moment och tvärkraft.

Lösning
Det karakteristiska värdet på böjhållfasthet är f_m,k = 24 MPa.

Säkerhetsklass 2: γ_d = 0,91.

Modifieringsfaktor för lastvaraktighet och klimatklass kan hämtas från Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Avsnitt 3.2, med lastvaraktighetsklass M och klimatklass 1 är faktorn k_mod = 0,8.

Materialfaktor för konstruktionsvirke, γ_M = 1,3.

Storleksfaktor för tvärsnittshöjd större än 150 mm, k_h = 1,0 (Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Avsnitt 3.3).

Det kan ofta vara rimligt att låta faktorn k_h anta värdet 1,0 även för mindre storlekar av bjälken.

Dimensioneringsvärde för böjhållfastheten:

$\displaystyle {f_{{\mathop{\rm m}\nolimits}\rm ,d}} = {k_\rm h}\frac{{{k_{\bmod }}{f_{{\mathop{\rm m}\nolimits}\rm ,k}}}}{{{\gamma _{\mathop{\rm M}\nolimits} }}} = 1,0\frac{{0,8 \cdot 24}}{{1,3}} = 14,8\,{\rm{ MPa}}$

Dimensioneringsvärde för lasten:

$\displaystyle {q_{\dim }} = {\gamma _{\mathop{\rm d}\nolimits} } \cdot \xi \cdot {\gamma _\rm g} \cdot {g_{\mathop{\rm k}\nolimits} } + {\gamma _{\mathop{\rm d}\nolimits} } \cdot {\gamma _\rm q} \cdot {q_{\mathop{\rm k}\nolimits} } =\\= 0,91 \cdot 0,89 \cdot 1,35 \cdot 0,5 + 0,91 \cdot 1,5 \cdot 2,0 = 3,3\;{\rm{kN/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$

$\displaystyle {q_{\mathop{\rm d}\nolimits} } = 0,6 \cdot 3,3 = 2,0\;{\rm{kN/m}}$

Dimensionerande värde för böjmomentet:

$\displaystyle {M_{{\mathop{\rm Ed}\nolimits} }} = {q_{\mathop{\rm d}\nolimits} }{\ell ^2}/8 = 2,0 \cdot {4,5^2}/8 = 5,1\;{\rm{kNm}}$

Det erfordrade böjmotståndet för bjälken erhålls genom:

$\displaystyle {W_{\rm erf}} = {M_{{\mathop{\rm Ed}\nolimits} }}/{f_{{\mathop{\rm m}\nolimits} ,\rm d}}$

$\displaystyle {W_{\rm erf}} = \frac{{{M_{\rm Ed}}}}{{{f_{\rm m,d}}}} = \frac{{5,1 \cdot {{10}^{ - 3}}}}{{14,8}} = {\rm{ 345}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{{\rm{ - 6}}}}{\rm{ }}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$

En i Sverige vanligt förekommande bredd för en träbjälke är 45 mm. I fall detta värde väljs som bredden b är den erfordrade höjden h = 214 mm (√(6 ⋅ W_erf)/b). Ett standardtvärsnitt väljs 45×220 mm. Detta förutsätter att bjälken är stagad mot vippning av exempelvis en golvspånskiva.

Kontrollera tvärkraftskapaciteten för bjälken.

Det dimensionerande värdet för tvärkraften:

$\displaystyle {V_{{\mathop{\rm Ed}\nolimits} }} = {q_{\mathop{\rm d}\nolimits} } \cdot {\rm{\ell }}/2 = 2,0 \cdot 4,5/2 = 4,5\;\rm kN$

Karakteristiskt värde för skjuvhållfastheten:

$\displaystyle {f_{{\mathop{\rm v}\nolimits} ,\rm k}} = 4,0\;{\rm{MPa}}$

Därmed erhålls det dimensionerande värdet för skjuvhållfastheten av:

$\displaystyle {f_{\rm v,d}} = \frac{{{k_{\bmod }}{f_{\rm v,k}}}}{{{\gamma _\rm M}}} = \frac{{0,80 \cdot 4,0}}{{1,3}} = 2,46\,{\rm{MPa}}$

Det dimensionerande värdet för tvärkraftskapaciteten erhålls av:

$\displaystyle {V_{\rm Rd}} = \frac{2}{3}A \cdot {f_{\rm v,d}}\quad {\rm{kN}}$

Enligt det nationella tillägget i Sverige, för närvarande EKS 11 (BFS 2019:1), bör värdet av A bestämmas grundat på b_ef för ett konstruktionselement utsatt för böjmoment. Den effektiva bredden b_ef erhålls ur:

$\displaystyle {b_{\rm ef}} = {k_{{\mathop{\rm cr}\nolimits} }}b$

där k_cr = 3,0 / f_v,k = 0,75 för konstruktionsvirke C24, ej exponerat för nederbörd och solstrålning. Detta ger följande för det dimensionerande värdet för tvärkraftskapaciteten:

$\displaystyle {V_{\rm Rd}} = \frac{2}{3} \cdot {k_{\rm cr}}A \cdot {f_{\rm v,d}} = \frac{2}{3} \cdot 0,75 \cdot 0,045 \cdot 0,220 \cdot 2,46 \cdot {10^3} = 12,2\,{\rm{ kN}}$

Detta visar att V_Ed < V_Rd, det vill säga att bjälken har tillräcklig tvärkraftskapacitet.
Anmärkning: Viss möjlighet till ytterligare reduktion av V_Ed finns, se Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Kapitel 6.

Dimensionering av en rak träbjälke

TräGuiden är den digitala handboken för trä och träbyggande och innehåller information om materialet trä samt instruktioner för byggande med trä.

Prenumerera på TräGuidens nyhetsbrev!