En fritt upplagd rektangulär bjälke utsätts för karakteristisk permanent belastning gk = 0,5 kN/m2 och karakteristisk variabel last qk = 2,0 kN/m2 med medellång varaktighet. Den fria spännvidden ℓ är 4,5 m och bjälkarna är placerade med 0,6 m centrumavstånd.
Bjälken är del av ett inomhusbjälklag. Klimatklass 1 och säkerhetsklass 2.
Dimensionera bjälken i konstruktionsvirke, hållfasthetsklass C24, för böjande moment och tvärkraft.
Lösning
Det karakteristiska värdet på böjhållfasthet är fm,k = 24 MPa.
Säkerhetsklass 2: γd = 0,91.
Modifieringsfaktor för lastvaraktighet och klimatklass kan hämtas från Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Avsnitt 3.2, med lastvaraktighetsklass M och klimatklass 1 är faktorn kmod = 0,8.
Materialfaktor för konstruktionsvirke, γM = 1,3.
Storleksfaktor för tvärsnittshöjd större än 150 mm, kh = 1,0 (Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Avsnitt 3.3).
Det kan ofta vara rimligt att låta faktorn kh anta värdet 1,0 även för mindre storlekar av bjälken.
Dimensioneringsvärde för böjhållfastheten:
\(\displaystyle {f_{{\mathop{\rm m}\nolimits}\rm ,d}} = {k_\rm h}\frac{{{k_{\bmod }}{f_{{\mathop{\rm m}\nolimits}\rm ,k}}}}{{{\gamma _{\mathop{\rm M}\nolimits} }}} = 1,0\frac{{0,8 \cdot 24}}{{1,3}} = 14,8\,{\rm{ MPa}}\)
Dimensioneringsvärde för lasten:
\(\displaystyle {q_{\dim }} = {\gamma _{\mathop{\rm d}\nolimits} } \cdot \xi \cdot {\gamma _\rm g} \cdot {g_{\mathop{\rm k}\nolimits} } + {\gamma _{\mathop{\rm d}\nolimits} } \cdot {\gamma _\rm q} \cdot {q_{\mathop{\rm k}\nolimits} } =\\= 0,91 \cdot 0,89 \cdot 1,35 \cdot 0,5 + 0,91 \cdot 1,5 \cdot 2,0 = 3,3\;{\rm{kN/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\)
\(\displaystyle {q_{\mathop{\rm d}\nolimits} } = 0,6 \cdot 3,3 = 2,0\;{\rm{kN/m}}\)
Dimensionerande värde för böjmomentet:
\(\displaystyle {M_{{\mathop{\rm Ed}\nolimits} }} = {q_{\mathop{\rm d}\nolimits} }{\ell ^2}/8 = 2,0 \cdot {4,5^2}/8 = 5,1\;{\rm{kNm}}\)
Det erfordrade böjmotståndet för bjälken erhålls genom:
\(\displaystyle {W_{\rm erf}} = {M_{{\mathop{\rm Ed}\nolimits} }}/{f_{{\mathop{\rm m}\nolimits} ,\rm d}}\)
\(\displaystyle {W_{\rm erf}} = \frac{{{M_{\rm Ed}}}}{{{f_{\rm m,d}}}} = \frac{{5,1 \cdot {{10}^{ - 3}}}}{{14,8}} = {\rm{ 345}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{{\rm{ - 6}}}}{\rm{ }}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)
En i Sverige vanligt förekommande bredd för en träbjälke är 45 mm. I fall detta värde väljs som bredden b är den erfordrade höjden h = 214 mm (√(6 ⋅ Werf)/b). Ett standardtvärsnitt väljs 45×220 mm. Detta förutsätter att bjälken är stagad mot vippning av exempelvis en golvspånskiva.
Kontrollera tvärkraftskapaciteten för bjälken.
Det dimensionerande värdet för tvärkraften:
\(\displaystyle {V_{{\mathop{\rm Ed}\nolimits} }} = {q_{\mathop{\rm d}\nolimits} } \cdot {\rm{\ell }}/2 = 2,0 \cdot 4,5/2 = 4,5\;\rm kN\)
Karakteristiskt värde för skjuvhållfastheten:
\(\displaystyle {f_{{\mathop{\rm v}\nolimits} ,\rm k}} = 4,0\;{\rm{MPa}}\)
Därmed erhålls det dimensionerande värdet för skjuvhållfastheten av:
\(\displaystyle {f_{\rm v,d}} = \frac{{{k_{\bmod }}{f_{\rm v,k}}}}{{{\gamma _\rm M}}} = \frac{{0,80 \cdot 4,0}}{{1,3}} = 2,46\,{\rm{MPa}}\)
Det dimensionerande värdet för tvärkraftskapaciteten erhålls av:
\(\displaystyle {V_{\rm Rd}} = \frac{2}{3}A \cdot {f_{\rm v,d}}\quad {\rm{kN}}\)
Enligt det nationella tillägget i Sverige, för närvarande EKS 11 (BFS 2019:1), bör värdet av A bestämmas grundat på bef för ett konstruktionselement utsatt för böjmoment. Den effektiva bredden bef erhålls ur:
\(\displaystyle {b_{\rm ef}} = {k_{{\mathop{\rm cr}\nolimits} }}b\)
där kcr = 3,0 / fv,k = 0,75 för konstruktionsvirke C24, ej exponerat för nederbörd och solstrålning. Detta ger följande för det dimensionerande värdet för tvärkraftskapaciteten:
\(\displaystyle {V_{\rm Rd}} = \frac{2}{3} \cdot {k_{\rm cr}}A \cdot {f_{\rm v,d}} = \frac{2}{3} \cdot 0,75 \cdot 0,045 \cdot 0,220 \cdot 2,46 \cdot {10^3} = 12,2\,{\rm{ kN}}\)
Detta visar att VEd < VRd, det vill säga att bjälken har tillräcklig tvärkraftskapacitet.
Anmärkning: Viss möjlighet till ytterligare reduktion av VEd finns, se Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Kapitel 6.
