Se även beräkningsexemplet på sidan Dimensionering av en rak träbjälke.
Bjälken är en del av ett bjälklag inomhus i ett bostadshus. Klimatklass 1 och säkerhetsklass 2. Dimensionera bjälken i konstruktionsvirke, hållfasthetsklass C24.
Bestäm nedböjningen för bjälken. Två olika lastfall kommer att diskuteras i det följande, för att visa olika fall som kan vara av intresse då kontroll av nedböjning ska genomföras.
Lösning
Först bestäms nedböjningen för karakteristisk lastkombination, det vill säga en deformation som uppstår relativt sällan under stommens livslängd.
Tröghetsmoment: I = 39,93 ∙ 10–6 m4
Elasticitetsmodul för användning i bruksgränstillstånd: E0,mean = 11 000 MPa
Karakteristisk lastkombination:
\(\displaystyle {q_\rm d} = {g_\rm k} + {q_{\rm k,1}} + \sum {{\psi _{\rm 0,i}}{q_{\rm k,i}}} \)
I detta fall gk = 0,5 kN/m2, variabel last är qk,1 = 2,0 kN/m2 och ingen annan variabel last förekommer, det vill säga:
\(\displaystyle \sum {{\psi _{\rm 0,i}}{q_{\rm k,i}} = 0} \)
Nedböjningen för en fritt upplagd bjälke är:
\(\displaystyle w = \frac{{{\rm{5}}q{{\ell }^{\rm{4}}}}}{{{\rm{384}}\,EI}}\)
Momentana nedböjningen för egentyngden är:
\(\displaystyle {w_{\rm inst,G}} = \frac{{{\rm{5}}g{{\ell }^{\rm{4}}}}}{{{\rm{384}}\,EI}} = \frac{{{\rm{5}} \cdot 0,5 \cdot {{10}^3} \cdot 0,6 \cdot {\rm{4,}}{{\rm{5}}^{\rm{4}}}}}{{{\rm{384}}\, \cdot 11000 \cdot {{10}^6} \cdot {\rm{39,93}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - {\rm{6}}}}}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{\rm{3}}} = {\rm{3,6 }}\,{\rm{mm}}\)
Momentana nedböjningen för den variabla lasten är:
\(\displaystyle {w_{\rm inst,Q}} = \frac{{{\rm{5}}q{{\ell }^{\rm{4}}}}}{{{\rm{384}}\,EI}} = \frac{{{\rm{5}} \cdot 2,0 \cdot {{10}^3} \cdot 0,6 \cdot {\rm{4,}}{{\rm{5}}^{\rm{4}}}}}{{{\rm{384}}\, \cdot 11000 \cdot {{10}^6} \cdot {\rm{39,93}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - {\rm{6}}}}}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{\rm{3}}} = {\rm{1}}4,6{\rm{ }}\,{\rm{mm}}\)
Momentana nedböjningen (korttidsnedböjningen) motsvarar totalt ≈ ℓ / 250 (4 500 / 18,2).
Då långtidsnedböjningarna ska uppskattas är det mer relevant att referera till det kvasipermanenta lastfallet:
\(\displaystyle {q_\rm d} = {g_\rm k} + \sum {{\psi _{\rm 2,i}}{q_{\rm k,i}}} \)
För bostadslaster är värdet av ψ2 = 0,3, se Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Tabell 2.2.
Den slutliga nedböjningen orsakad av egentyngd kan antingen bestämmas med hjälp av värdet:
\(\displaystyle {E_{{\mathop{\rm mean}\nolimits} ,}}_{\rm fin} = \frac{{{E_{{\mathop{\rm mean}\nolimits} }}}}{{1 + {k_{\rm def}}}}\)
i:
\(\displaystyle w = \frac{{{\rm{5}}q{{\ell }^{\rm{4}}}}}{{{\rm{384}}\,EI}}\)
kdef = 0,6 erhålls ur Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Tabell 9.1.
Detta ger:
\(\displaystyle {E_{\rm mean,fin}} = \frac{{11000}}{{1 + 0,6}} = 6875{\rm{\,MPa}}\)
\(\displaystyle {w_{\rm fin,G}} = \frac{{{\rm{5}}g{{\ell }^{\rm{4}}}}}{{{\rm{384}}\,{E_{\rm mean,fin}}I}} = \frac{{{\rm{5}} \cdot 0,5 \cdot {{10}^3} \cdot 0,6 \cdot {\rm{4,}}{{\rm{5}}^{\rm{4}}}}}{{{\rm{384}}\, \cdot 6875 \cdot {{10}^6} \cdot {\rm{39,93}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - {\rm{6}}}}}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{\rm{3}}} = {\rm{5,8 }}\,{\rm{\,mm}}\)
Alternativt kan denna nedböjning bestämmas genom:
\(\displaystyle {w_{\rm fin,G}} = {w_{\rm inst,G}}\left( {1 + {k_{\rm def}}} \right)\)
\(\displaystyle {w_{\rm fin,G}} = 3,6 \cdot \left( {1 + 0,6} \right) = 5,8{\rm{ }}\,{\rm{mm}}\)
Krypdeformationen för den variabla lasten bestäms ur ψ2 qk. I överensstämmelse med egentyngden beräknas nedböjningen för den variabla lasten som:
\(\displaystyle {w_{\rm fin,Q}} = {w_{\rm inst,Q}}\left( {1 + \psi _2^{}{k_{\rm def}}} \right)\)
\(\displaystyle {w_{\rm fin,Q}} = 14,6 \cdot \left( {1 + 0,3 \cdot 0,6} \right) = 17{\rm{ }}\,{\rm{mm}}\)
Den slutliga långtidsnedböjningen (inklusive korttidseffekterna) motsvarar totalt ≈ ℓ / 200 (4 500 / 22,8).
Godtagandet av en viss gräns måste bestämmas grundat på stomelementets användning. I vissa fall kan värdet ℓ / 200 innebära ett problem, medan det i andra fall kan vara acceptabelt. Det bör noteras att korttidseffekterna av den karakteristiska lasten är inkluderade i ℓ / 200.
