Dimensionering av momentstyv pelarfot

Bild 1.

En pelarfot i en lagerbyggnad ska dimensioneras som momentstyv infästning. Träpelaren är fixerad med spikar genom stålplåtar som gjutits in i betongen. Pelaren är tillverkad av limträ GL30c med dimensionerna h_p = 315 mm och b_p = 215 mm. Stålplåtarna är tillverkade av stål S235 med dimensionerna h = 650 mm, b = 200 mm och tjockleken t = 5 mm. Antalet kamförsedda spikar av dimensionen 60–4,0 är 60 stycken per plåt och draghållfastheten för spikarna är 600 MPa.

Kontrollera om förbandet har tillräcklig bärförmåga för att motstå en horisontalkraft H = 25 kN, ett moment M = 25 kNm och en vertikalkraft V = 25 kN.

1. Geometri

Pelare, tvärsnittsbredd: b_p = 215 mm

Pelare, tvärsnittshöjd: h_p = 315 mm

Stålplåt, längd: h = 650 mm

Stålplåt, bredd: b = 200 mm

Stålplåt, tjocklek: t = 5 mm

Spik, diameter: d = 4 mm

Spikhuvud, diameter: d_h = 8 mm

Diameter, förborrat hål i stålplåten: d_hole = d + 1 mm = 5 mm

Spik, längd: ℓ_s = 60 mm

Antal spikar ⊥ fibrerna: n_h = 6

Antal spikar // fibrerna: n_v = 10

Spik, inträngningsdjup: t₁ t_pen = ℓ_s – t = 55 mm

2. Materialegenskaper

Skjuvhållfasthet, GL30c: f_v,k = 3,5 MPa

Draghållfasthet, GL30c parallellt med fibrerna: f_t,0,k = 19,5 MPa

Tryckhållfasthet, GL30c vinkelrätt mot fibrerna: f_c,90,k = 2,5 MPa

Densitet, GL30c: ρ_k = 390 kg/m³

Draghållfasthet, spik: f_u = 600 MPa

Sträckhållfasthet, S235: f_yk = 235 MPa

Brotthållfasthet, S235: f_uk = 340 MPa

3. Modifieringsfaktorer

Materialfaktor för limträ i brottgränstillstånd, GL30c: γ_M = 1,25

Materialfaktor för limträ i brottgränstillstånd, förband: γ_M,connection = 1,3

Materialfaktor för stål i brottgränstillstånd: γ_M2 = 1,2

Faktor för medellång lastvaraktighet M och klimatklass 2: k_mod = 0,8

4. Dimensionerande snittkrafter

Horisontalkraft: H = 25 kN

Vertikalkraft: V = 25 kN

Moment: M = 25 kNm

Horisontalkraften tas som kontakttryck mellan pelaren och stålplåten. Vertikalkraften tas som kontakttryck mellan pelarfoten och grunden. Momentet tas som ett kraftpar i stålplåtarna.

Resulterande kraft på grund av momentet:

\({F_\rm x} = \frac{M}{{{h_p}}} = 79\;{\rm{kN}}\)

Detta förutsätter att kraften är så liten att inte plåten knäcker ut, vilket måste kontrolleras. I detta fall får vi enligt Eurokod 3: Avsnitt 6.3:

\(\begin{array}{l} \lambda = 60/5 \cdot \sqrt {12} /93,9 = 0,443\\ \phi = 0,5 \cdot \left( {1 + 0,49 \cdot \left( {\lambda - 0,2} \right) + \lambda 2} \right) = 0,657\\ X = 1/\left( {\phi + \sqrt {\left( {\phi 2 - \lambda 2} \right)} } \right) = 0,875 \end{array}\)

Plåtens bärförmåga med avseende på buckling är då N_b,Rd = 0,875 ∙ 0,005 ∙ 0,2 ∙ 235 ∙ 103 / 1,1 = 187 kN. Detta betyder att det i detta fall inte är risk för buckling, men det beror bara på att momentet i exemplet är måttligt och nedersta spikraden placerad så nära nederänden som det bara går, med avseende på ändavstånd (15d). Om plåten knäcker kommer istället limträpelarens nederände att genom anliggning överföra kraften till betongen och vi får en betydligt kortare hävarm för att ta upp momentet och därmed ökad kraft i den dragna lasken. Hur man räknar då kan man se i Projektering av limträkonstruktioner.

Kraft i form av kontakt mellan stålplåt och pelare: F_y = H = 25 kN

5. Hålkanthållfasthet

Hålkanthållfasthet, GL30c (Dimensionering av träkonstruktioner Del 1: Ekvation 4.1):
f_h,k = 0,082ρ_k d ^0,3
f_h,k = 21,1 MPa

6. Flytmoment, spik

Flytmoment, spik (Dimensionering av träkonstruktioner Del 1: Ekvation 4.5):
M_y,Rk = 0,45f_u d ^2,6

Något förenklat har här formeln för släta, räfflade spikar tillämpats. Detta värde hämtas i praktiken oftast från respektive spiktillverkare.

M_y,Rk = 9 925 Nmm

7. Utdragsbärförmåga

Axiell utdragshållfasthet (Dimensionering av träkonstruktioner Del 1: Ekvation 4.14):
f_ax,k = 20 ∙ 10^–6 ρ_k²
f_ax,k = 3 MPa

Genomdragshållfasthet: Plåten hindrar genomdragning av spikens huvud, därför beräknas ej genomdragshållfastheten.

Utdragsbärförmåga (Dimensionering av träkonstruktioner Del 1: Ekvation 4.16):
F_ax,Rk = f_ax,k ∙ d ∙ t_pen = 669 N

Utdragsbärförmåga / 4: F_ax,Rk / 4 = 167 N

8. Bärförmåga i skjuvning för spikarna

Tjock stålplåt (Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Avsnitt 10.3 och Dimensionering av träkonstruktioner Del 1: Tabell 4.3):
t / d = 1,25     villkoret ≥ 1 är uppfyllt

Brottmod c (Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Avsnitt 10.3 och Dimensionering av träkonstruktioner Del 1: Tabell 4.3):
F_v,Rk,c = f_h,k t₁ d = 21,1 ∙ 55 ∙ 4 = 4,64 kN

Brottmod d (Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Avsnitt 10.3 och Dimensionering av träkonstruktioner Del 1: Tabell 4.3):

\({F_{{\mathop{\rm v}\nolimits} ,\rm Rk,d}} = {f_{{\mathop{\rm h}\nolimits} ,\rm k}}{t_1}d\left( \displaystyle {\sqrt {2 + \frac{{4{M_{{\mathop{\rm y}\nolimits} ,\rm Rk}}}}{{{f_{{\mathop{\rm h}\nolimits} ,\rm k}}d{t_1}^2}}} - 1} \right)\)

\({F_{{\mathop{\rm v}\nolimits} ,\rm Rk,d}} = 21,1 \cdot 55 \cdot 4\left( \displaystyle {\sqrt {2 + \frac{{4 \cdot 9925}}{{21,1 \cdot 4 \cdot {{55}^2}}}} - 1} \right) = 2,17\;{\rm{kN}}\)

Brottmod e (Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Avsnitt 10.3 och Dimensionering av träkonstruktioner Del 1: Tabell 4.3):

\({F_{{\mathop{\rm v}\nolimits} ,\rm Rk,e}} = 2,3\sqrt {{M_{{\mathop{\rm y}\nolimits} ,\rm Rk}}{f_{{\mathop{\rm h}\nolimits} ,\rm k}}d} \)

\({F_{{\mathop{\rm v}\nolimits} ,\rm Rk,e}} = 2,3\sqrt {9925 \cdot 21,1 \cdot 4} = 2,11\;{\rm{kN}}\)

Bärförmåga för en spik: F_v,Rk = min(F_v,Rk,c , F_v,Rk,d , F_v,Rk,e)

Avgörande brottmod: Brottmod e

Bidrag från linverkan (kan här tillgodoräknas helt): F_ax,Rk ⁄4 = 0,167 kN

Total dimensionerande bärförmåga per spik och skjuvplan:

\(\begin{array}{l} {F_{{\mathop{\rm Rd}\nolimits} }} = \displaystyle \frac{{\left( {{F_{{\mathop{\rm v}\nolimits} ,\rm Rk}} + {F_{{\mathop{\rm ax}\nolimits} ,\rm Rk}}/4} \right) \cdot {k_{\bmod }}}}{{{\gamma _{\mathop{\rm M}\nolimits} }}} = \frac{{\left( {2,11 + 0,167} \right) \cdot 0,8}}{{1,3}} = 1,40\;{\rm{kN}} \end{array}\)

Minsta centrumavstånd // fibrerna för spikar utan krav på reduktion (Dimensionering av träkonstruktioner Del 2: Tabell 10.1): 14d = 56 mm

Verkligt centrumavstånd för spikar: a₁ = 60 mm

Total bärförmåga för förbandet: F_Rd,tot = n_v ∙ n_h ∙ F_Rd = 10 ∙ 6 ∙ 1,40 = 84 kN

Kontroll av bärförmågan:

\(\displaystyle \frac{{{F_{\mathop{\rm x}\nolimits} }}}{{{F_{{\mathop{\rm Rd}\nolimits} ,\rm tot}}}} = \frac{{79}}{{84}} = 0,94\)

Spikarnas bärförmåga är tillräcklig.

9. Spikavstånd

Valt avstånd, parallellt med fibrerna: a₁ = 60 mm

Valt avstånd, vinkelrätt mot fibrerna: a₂ = 30 mm

Valt avstånd, till belastad ände: a₃ = 60 mm

Vinkel mellan kraftriktning och fiberriktning: α = 0

Erforderligt avstånd parallellt med fibrerna: a₁ = (5 + 5 ∙ | cos(0) |) ∙ d ∙ 0,7 = 28 mm

Erforderligt avstånd vinkelrätt mot fibrerna: a₂ = 5d ∙ 0,7 = 14 mm

Erforderligt avstånd till belastad ände: a_3,t = (10 + 5 ∙ cos(0)) ∙ d = 60 mm

Spikarnas bärförmåga är tillräcklig för att motstå krafterna.

För en fullständig verifiering av förbandet är det även nödvändigt att kontrollera klossbrott, hållfastheten för stålplåtarna och om stålplåten kan motstå horisontalkraften liksom kontrollera stålplåtarnas förankring i grundkonstruktionen.