Pelaren är 4 m hög och vänd med sin styva riktning vinkelrätt mot fasaden. Fotänden är momentstyvt infäst i grundkonstruktionen, medan pelartoppen kan förskjutas fritt i horisontalled. Centrumavståndet till angränsande pelare är 6,0 m. Vertikallasten, som består av egentyngd och snölast från taket, förs in centriskt i pelaren. Vindlasten överförs via horisontella väggreglar med centrumavståndet 0,8 m. De är infästa så att knäckning av pelaren i sidled förhindras.
Anmärkning:
Detta exempel är starkt förenklat. I verkliga fall ingår pelare i ett system av pelare och balkar som påverkar varandra via horisontalkrafter i pelartopparna. Man har att ta hänsyn till vindlasten på motstående yttervägg såväl som laster av snedställda pendelpelare. Vidare inverkar eventuella inspänningar av övriga pelare i systemet och deras längd och styvhet.
1. Förutsättningar
Vertikal last av egentyngd: G = 26,0 kN
Vertikal last av karakteristisk snölast: Q1k = 84,0 kN
Värde på ψ-faktorer för snölast (2,5 kN/m2): ψ0 = 0,7 (kombinationsvärde)
Vindlast karakteristiskt värde: wk = 0,6 kN/m2
Värde på ψ-faktorer för vindlast: ψ0 = 0,3 (kombinationsvärde)
Säkerhetsklass: 3 (γd=1,0)
Klimatklass: 1
Hållfasthetsklass: GL30c
Dimensionering enligt Eurokod 5: (γm = 1,25 för limträ)
2. Preliminära dimensioner
Ur tabell ”Pelare av limträ” i Limträhandboken kan man välja en preliminär dimension på pelaren som utgångspunkt för den fortsatta dimensioneringen. Tabellen gäller pendelpelare, varför man som ingångsvärde på knäcklängden väljer dubbla pelarlängden i exemplet, det vill säga 8 m. Eftersom tabellen vidare avser centriskt belastade pelare, det vill säga pelare utan excentricitet, utgår man lämpligen från en lastkombination där snölasten är huvudlast och beaktar inverkan av vindlast genom att endast utnyttja en del av bärförmågan vid centriskt tryck, till exempel 50 %.
Dimensionerande vertikallast
\(\displaystyle F_{\text{c,0,d}}= \gamma_\text{d} \cdot 0,89 \cdot 1,35 \cdot G_\text{k} + \gamma_\text{d} \cdot 1,5 \cdot Q_{\text{1k}} = 1,0 \cdot 0,89 \cdot 1,35 \cdot 26 + 1,0 \cdot 1,5 \cdot 84 = 157 \:\text{kN}\)
För en pelare med knäcklängden 8 m och tvärmåtten 190x315 mm2 är bärförmågan vid utknäckning i styva leden 472 kN enligt Limträhandbokens tabell.
(0,5 · 472 = 236 kN > Fc,0,d = 157 kN)
3. Kontroll av brottgränstillståndet
Dimensionerande lasteffekter
Eftersom den yttre lasten förekommer både som snölast och vindlast måste två alternativa lastkombinationer kontrolleras
- snö som huvudlast
- vind som huvudlast
Vindlasten överförs till pelarna i form av upplagsreaktioner från väggreglarna. Storleken på lasten är
Q2k = 0,6 · 6,0 · 0,8 = 2,88 kN (karakteristiskt värde)
ψ0 · Q2k = 0,3 · 2,88 = 0,86 kN (kombinationsvärde)
Snö huvudlast:
Normalkraft Fc,0,d = 157 kN (enligt ovan)
Dimensionerande tryckspänning blir
\(\displaystyle \sigma_{\text{c,0,d}} = \frac{F_{\text{c,0,d}}}{A} = \frac{157 \cdot 10^3}{190 \cdot 315} = 2,62 \:\text{N/mm}^2\)
Antag att takbalk och takets sekundärbärverk sammanlagt har höjden 1,0 m. Det ger en anblåst yta om 6 m2 vars last förs över till pelartoppen i form av en punktlast:
Qtopp = 0,3 · 0,6 · 6,0 = 1,08 kN
Maximalt moment Md = 0,86 ( 0,8 + 1,6 + 2,4 + 3,2 ) + ( 0,43 + 1,08) · 4,0 = 12,96 kNm
Dimensionerande böjspänning blir
\(\displaystyle \sigma_{\text{m,y,d}} = \frac{M_\text{d}}{W_\text{y}} = \frac{12,96 \cdot 10^6 \cdot 6}{190 \cdot 315^2} = 4, 125 \:\text{N/mm}^2\)
Maximal tvärkraft Vd = 4,5 · 0,86 +1,08 = 4,97 kN
Dimensionerande skjuvspänning blir
\(\displaystyle \tau_\text{d} = \frac{1,5 \cdot V_\text{d}}{A}= \frac{1,5 \cdot 4,97 \cdot 10^3}{190 \cdot 315} = 0,125 \:\text{MPa}\)
Vind huvudlast:
Normalkraft blir
\(\displaystyle F_{\text{c,0,d}} = \gamma_\text{d} \cdot 0,89 \cdot 1,35 \cdot G_\text{k} + \gamma_\text{d} \cdot 1,5 \cdot \psi_\text{0} \cdot Q_{\text{1k}} = 1,0 \cdot 0,89 \cdot 1,35 \cdot 26 + 1,0 \cdot 1,5 \cdot 0,7 \cdot 84 = 119 \:\text{kN}\)
Dimensionerande tryckspänning blir
\(\displaystyle \sigma_{\text{c,0,d}} = \frac{F_{\text{c,0,d}}}{A} = \frac{119 \cdot 10^3}{190 \cdot 315} = 1,99 \:\text{N/mm}^2\)
Qtopp = 1,5 · 0,6 · 6,0 = 5,40 kN
Maximalt moment Md = 1,0 · 1,5 · 2,88 ( 0,8 + 1,6 + 2,4 + 3,2 ) + 1,0 · 1,5 · 1,45 · 4,0 +5,40 · 4,0 = 64,8 kNm
Dimensionerande böjspänning blir
\(\displaystyle \sigma_{\text{m,y,d}} = \frac{M_\text{d}}{W_\text{y}} = \frac{64,8 \cdot 10^6 \cdot 6}{190 \cdot 315^2} = 20,62 \:\text{N/mm}^2\)
Maximal tvärkraft Vd = 4,5 · 1,0 · 1,5 · 2,88 + 5,40 = 24,84 kN
Dimensionerande skjuvspänning blir
\(\displaystyle \tau_{\text{d}} = \frac{1,5 \cdot V_\text{d}}{A} = \frac{1,5 \cdot 19,5 \cdot 10^3}{190 \cdot 315} = 0, 623 \:\text{MPa}\)
Bärförmåga - böjmoment
Dimensionerande värde på böjhållfasthet beräknas med
fm,k = 30,0 MPa (GL30c)
γm = 1,25
Om en lastkombination består av laster tillhörande olika lastvarighetsklasser bör ett värde på kmod väljas
som motsvar den last som har kortast varaktighet.
kmod = 0,90 (GL30c, lastvaraktighetsklass kort (vindlast), klimatklass 1)
För höjd h = 315 mm
\(\displaystyle k_\text{h} = min \begin{cases} \displaystyle \left(\frac{600}{h}\right)^{0,1} = \displaystyle \left(\frac{600}{315}\right)^{0,1} = 1,07 \\ 1,1 \end{cases}\)
Dimensionerande värde på böjhållfasthet blir
\(\displaystyle f_{\text{m,d}} = \frac{k_{\text{mod}} \cdot ( k_\text{h} \cdot f_{\text{m,k}})}{\gamma_\text{m}} = \frac{0,90 \cdot (1,07 \cdot 30,0)}{1,25} = 23,0 \:\text{MPa}\)
Bärförmåga - normalkraft
Dimensionerande värde på tryckhållfasthet beräknas med
fc,0,k = 24,5 MPa (GL30c)
γm = 1,25
Om en lastkombination består av laster tillhörande olika lastvarighetsklasser bör ett värde på kmod väljas
som motsvar den last som har kortast varaktighet.
kmod = 0,90 (GL30c, lastvaraktighetsklass kort (vindlast), klimatklass 1)
Dimensionerande värde på tryckhållfasthet blir
\(\displaystyle f_{\text{c,0,d}} = \frac{k_{\text{mod}} \cdot f_{\text{c,0,d}}}{\gamma_\text{m}} = \frac{0,90 \cdot25,4}{1,25} = 17,6 \:\text{MPa}\)
Bärförmågan vid tryck ska bestämmas med hänsyn till risken för knäckning. Väggreglarna hindrar att pelaren knäcker ut i sin veka riktning. Risk för instabilitet beaktas endast för den styva riktningen.
Knäcklängden är enligt Eulers 1:a knäckfall
2,0 · pelarlängden
men med hänsyn till att inspänningen i fotänden i praktiken är ofullständig är det lämpligt att räkna med knäcklängden
2,25 · pelarlängden, dvs 2,25 · 4 = 9,0 m
Tryckt konstruktionsdel med risk för knäckning:
Med h = 0,315 m och Lc = 9,0 m erhålls
\(\displaystyle \lambda_\text{y} = \frac{L_\text{c}}{i} = \frac{9,0 \cdot \sqrt{12}}{0,315} = 99\)
Vilket ger
\(\displaystyle \lambda_{\text{rel,y}} = \frac{\lambda_\text{y}}{\pi} \cdot \sqrt{\frac{f_{\text{c,0,k}}}{E_{\text{0,05}}}} = \frac{121}{\pi} \cdot \sqrt{\frac{24,5}{10800}} = 1,50 > 0,3\)
och risk för knäckning ska beaktas enligt Eurokod 5
\(\displaystyle k_\text{y} = 0,5 \cdot \left(1 + \beta_\text{c} \cdot ( \lambda_{\text{rel,y}}-0,3) +{\lambda_{\text{rel,y}}}^2 \right) = 0,5 \cdot \left( 1 + 0,1\cdot (1,50–0,3) + 1,50^2\right) = 1,69\)
där \( \beta_c = 0,1\) för limträ.
Knäckfaktor
\(\displaystyle k_{\text{c,y}} = \frac{1}{k_\text{y} + \sqrt{{k_\text{y}}^2-{\lambda_{\text{rel,y}}}^2}} = \frac{1}{1,69 + \sqrt{1,69^2 –1,50^2}} = 0,407\)
Bärförmåga - tryck och böjning
För kontroll av bärförmågan vid samtidig böjning och axiellt tryck används interaktionsvillkor enligt Eurokod 5.
Snö huvudlast:
\(\displaystyle \frac{\sigma_{\text{c,0,d}}}{k_{\text{c,y}} \cdot f_{\text{c,0,d}}} + \frac{\sigma_{\text{m,y,d}}}{f_{\text{m,y,d}}} = \frac{2,62}{0,407 \cdot 17,6} + \frac{4,12}{23,0} = 0,61 + 0,18 = 0,79 < 1,0 \)
Dimensioneringsvillkoret är således uppfyllt!
Vind huvudlast:
\(\displaystyle \frac{\sigma_{\text{c,0,d}}}{k_{\text{c,y}} \cdot f_{\text{c,0,d}}} + \frac{\sigma_{\text{m,y,d}}}{f_{\text{m,y,d}}} = \frac{1,99}{0,407 \cdot 17,6} + \frac{20,6}{23,0} = 0,27 + 0,90 = 1,17 > 1,0\)
Dimensioneringsvillkoret är således inte uppfyllt!
Öka dimensionen till 190x360 GL30c
Snö huvudlast:
σc,0,d = 2,30 N/mm
σm,y,d = 3,158 N/mm2
τd = 0,109 MPa
Vind huvudlast:
σc,0,d = 1,746 N/mm
σm,y,d = 15,79 N/mm2
τd = 0,545 MPa
kh =1,05
fm,d = 22,7 MPa
kc,y = 0,52
Snö huvudlast:
σc,0,d / kc,y / fc,0,d + σm,y,d / fm,d = 0,813 < 1,0
Vind huvudlast:
σc,0,d / kc,y / fc,0,d + σm,y,d / fm,d = 0,886 < 1,0
Båda dimensioneringsvillkoren är därmed uppfyllda!
Bärförmåga - tvärkraft
Dimensionerande värde på skjuvhållfastheten blir med
fv,k = 3,5 MPa (GL30c)
kmod = 0,9 (lastvaraktighet kort, klimatklass 1)
γm = 1,25 (limträ)
Enligt allmänt råd i EKS 11 (BFS 2019:1), bör kcr enligt nedan användas för limträ som inte är exponerat för nederbörd och solstrålning.
\(\displaystyle k_{\text{cr}}= min \begin{cases}\frac{3,0}{1,0} \\ 1,0 \end{cases}\)
\(\displaystyle \frac{3,0}{f_{\text{v,k}}} = \frac{3,0}{3,5}=0,857 < 1,0 \:\text{ alltså }\:k_{\text{cr}}=0,857\)
\(\displaystyle f_{\text{v,d}}=\frac{k_{\text{cr}} \cdot k_{\text{mod}} \cdot f_{\text{v,k}}}{\gamma_\text{m}} = \frac{0,857 \cdot 0,9 \cdot 3,5}{1,25} = 2,16 > 0,54 \:\text{MPa}\)
Dimensioneringsvillkoret \(\tau_\text{d} < f_{\text{v,d}}\) är uppfyllt!
4. Kontroll av bruksgränstillstånden
Funktionskriterier
Deformationerna hos en konstruktion under påverkan av laster ska begränsas med hänsyn till risken för skador samt med hänsyn till funktionskrav och estetiska krav. Gränsvärden för deformationer bestäms från fall till fall, och gränsvärden med hänsyn till utseende eller komfort kan anges av byggherren. Gränsvärde för wfin väljs till L/180 för en inspänd konsol, det vill säga i detta fall en utböjning i pelartopp på 22 mm.
Den omedelbara utböjningen, winst, kan beräknas för den karakteristiska lastkombinationen med användande av medelvärde på elasticitetsmodul, skjuvmodul och förskjutningsmodul. Den slutliga utböjningen, wfin, kan förenklat beräknas som
wfin = wfin,G + wfin,Q
där
wfin,G = winst,G (1+kdef),
wfin,Q = winst,Q (1+ψ2∙kdef) för huvudlasten där ψ2 är faktor för kvasipermanenta värdet av variabel last,
kdef = 0,60 för limträ i klimatklass 1.
Lastvärden och lasteffekter
Dimensionerande lasteffekt, det vill säga i detta fall utböjning av frekvent lastfall.
Endast vindlasten ger upphov till utböjning. Denna kan approximativt beräknas som för en konsol med jämnt fördelad belastning samt en punktlast i överänden.
ψ1 · Qtopp = 0,2 · 6,0 = 1,20 kN.
\(\displaystyle w_{\text{inst,Q}} = \frac{\psi_\text{1} \cdot q_\text{k} \cdot h^4}{8 \cdot E_{\text{0,mean}} \cdot I} = \frac{0,2 \cdot 6 \cdot 0,6 \cdot 10^3 \cdot 4^4 \cdot 12}{8 \cdot 13000 \cdot 10^6 \cdot 0,190 \cdot 0,36^3} + 1,2 · 103 · 43 / 3 / E/I= 6, 7\:\text{mm}\)
För vindlasten är ψ2 = 0, och wfin = (1+ψ2∙kdef) ·winst,Q = (1+0)·6,7 = 6,7 mm < 22 mm
Dimensioneringsvillkoret wfin < h/180 = 22 mm är alltså uppfyllt!
5. Vald dimension
Välj limträpelare 190x360.
