Centrumavstånd till angränsande balkar 6 m. Yttertaket består, utifrån räknat, av trapetsprofilerad plåt, mineralullsisolering och en bärande, högprofilerad plåt, upplagd direkt på balkens ovansida och infäst så att balkens överkant är förhindrad att böja ut i sidled. Balken är förhindrad att vridas och att röra sig i sidled vid upplagen.
1. Förutsättningar
- Spännvidd: 21 000 mm
- Centrumavstånd: 6 000 mm
- Taklutning 1:16 (3,58°)
- Snölast: sk = 1,5 kN/m2
- Snölastens formfaktor: µ = 0,8
- Yttertakets egentyngd: 0,3 kN/m2
- Klimatklass: 1
- Säkerhetsklass: 3 (γd = 1,0)
- Hållfasthetsklass: GL30c
- Dimensionering enligt Eurokod 5 (γm = 1,25)
2. Preliminära dimensioner
Med hjälp av överslagsberäkning enligt formler 7.11 och 7.12 i Limträhandbok Del 2 7.3.2 kan man bestämma förhållandet mellan spännvidd och erforderlig balkhöjd för en fritt upplagd tvåstödsbalk som är belastad med jämnt fördelad last. Ingångsvärde i formlerna i Limträhandbok är utbredd last qd, bredd b lutning α och fm,d.
Anta att balkarnas egentyngd är 0,85 kN/m, vilket motsvarar en jämnt utbredd last på 0,14 kN/m2.
Total egentyngd g = 0,3 + 0,14 = 0,44 kN/m2
Karakteristisk snölast s = µ · sk = (0,8 + 3,58/20*0,3) · 1,5 = 1,280 kN/m2
I brottgränstillstånd är vanligtvis lastkombination med snö som huvudlast dimensionerande. Med bara en variabel last (snö) fås
qd = 1,0 · 0,89 · 1,35 · 0,44 + 1,0 · 1,5 · 1,280 = 2,449 kN/m2
eller per meter balk (eftersom bärplåten är kontinuerlig fås en förstoringsfaktor om 10 %)
qd = 6,0 · 1,1 · 2,449 = 16,17 kN/m
Kortvarigaste last i lastkombinationen är karakteristisk snölast (lastvaraktighetsklass medellång).
Dimensionerande värde på böjhållfastheten fm,d fås med
κh = 1,0 för h > 600 mm
fm,k = 30,0 MPa (GL30c)
kmod = 0,8 (lastvaraktighet medel, klimatklass 1)
γm = 1,25 (limträ)
\(\displaystyle f_{\text{m,d}}= \frac{k_{\text{mod}} \cdot f_{\text{m,k}}}{\gamma_\text{m}} = \frac{0,8 \cdot 30,0}{1,25} = 19,2 \:\text{MPa}\)
Nästa steg är att anta ett värde på balkbredden, Limträhandbok ger anvisning om b ≈ l/140–l/110
21000/110 = 191
Välj b=190 mm.
Insatt i formel 7.11 får vi:
h0 = l/4·(3 · (qd/b/(0,9· fm,d ))½-tan α) = 21/4 · (3 · (2449/0,19/0,9/19200000)½ - tan 3,58°) = 0,777 m
och
hap= l/4·(3 · (qd/b/(0,9· fm,d ))½-tan α) = 21/4 · (3 · (2449/0,19/0,9/19200000)½ + tan 3,58°) = 1,433 m
det vill säga erforderlig upplagshöjd är 777 mm och nockhöjden 1 433 mm.
Pröva sadelbalk 190x784–1440–784x21000
3. Kontroll av brottgränstillståndet
Lasteffekt - tvärkraft
\(\displaystyle \tau_{\text{max}}= \frac{1,5 \cdot 154976}{190 \cdot 784} = 1,56 \:\text{MPa}\)
Bärförmåga - tvärkraft
Dimensionerande värde på skjuvhållfastheten fv,d beräknas
fv,k = 3,5 MPa (GL30c)
kmod = 0,8 (lastvaraktighet medel, klimatklass 1)
γm = 1,25 (limträ)
Enligt allmänt råd i EKS 11 (BFS 2019:1), bör kcr enligt nedan användas för limträ som inte är exponerat för nederbörd och solstrålning.
\(\displaystyle k_{\text{cr}} = min \begin{cases} \displaystyle \frac{3,0}{f_{\text{v,k}}} \\ 1,0 \end{cases}\)
\(\displaystyle \frac{3,0}{f_{\text{v,k}}} = \frac{3,0}{3,5} = 0,857 < 1,0 \: \: \text{alltså} \:\: k_{\text{cr}} = 0,857\)
\(\displaystyle f_{\text{v,d}} = \frac{k_{\text{cr}} \cdot k_{\text{mod}} \cdot f_{\text{v,k}}}{\gamma_\text{m}} = \frac{0,857 \cdot 0,8 \cdot 3,5}{1,25} = 1,92 \:\text{MPa}>1,56 \:\text{MPa}\)
\(\text{Dimensioneringsvillkoret}\: \tau_\text{d} < f_{\text{v,d}} \:\text{är uppfyllt!}\)
Lasteffekt - moment
Eftersom tvärsnittshöjden varierar uppträder inte maximal böjspänning i samma snitt som maximalt moment utan i ett snitt vars läge bestäms av balkens geometri och belastning. Tvärsnittshöjdens variation medför dessutom att böjspänningarnas fördelning inte är linjär som vid en jämnhög balk.
Maximal böjspänning kan, vid jämnt fördelad belastning, beräknas med följande ekvation
\(\displaystyle x_{\text{max}}=\frac{l \cdot h}{2 \cdot h_{\text{nock}}} = \frac{21000 \cdot 680}{2 \cdot 1440} = 5344 \:\text{mm}\)
Där balkhöjden är
hmax = h+xmax/ 16 = 784+5715 / 16 = 1134 mm
På lovartsidan är snölasten slo =µ · sk = 0,8 · 1,5 = 1,2 kN/m2
Det ger upplagsreaktionen på läsidan
Ra = 167,65 kN
Dimensionerande moment blir då
Mmax,d = Ra · Xmax - qd · Xmax2 / 2 = 167,65 · 5,715 - 16,166 · 5,7152 /2 = 694,1 kNm
\(\displaystyle \sigma_{\text{m,d}} = \frac{M_{\text{max,d}}}{W} = \frac{694,1 \cdot 10^6 \cdot 6}{190 \cdot 1134^2} = 17, 04 \:\text{MPa}>19,2\:\text{MPa}\)
Dimensioneringsvillkoret \(\sigma_{\text{m,d}} < f_{\text{m,d}}\) är uppfyllt!
I balkens överkant är böjhållfastheten reducerad på grund av att spänningarna där bildar vinkeln α med fiberriktningen. Reduktionsfaktor för snedsågad kant i tryckt zon beräknas. För balk som har sadelform gäller att i den yttersta fibern på den lutande ytan bör spänningarna uppfylla följande villkor:
\(\displaystyle \sigma_{\text{m,}\alpha\text{,d}}=\frac{M_\text{d}}{W} \leq k_{\text{m,}\alpha}\cdot f_{\text{m,d}}\)
där \(\displaystyle k_{\text{m,}\alpha}\) beräknas för tryckspänningar parallellt med lutande ytan som:
\(\displaystyle k_{\text{m,}\alpha} = \frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle \left(\frac{f_{\text{m,d}}}{1,5 \cdot f_{\text{v,d}}}\cdot\tan\alpha\right)^2 + \displaystyle \left(\frac{f_{\text{m,d}}}{f_{f_{\text{c,90,d}}}}\cdot \tan^2\alpha\right)^2}}\)
\(\displaystyle k_{\text{m,}\alpha} = \frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle \left( \frac{19,7} {1,5 \cdot 1,92} \cdot \tan 3,58^\circ \right)^2 + \displaystyle \left(\frac{19,7}{1,73} \cdot \tan^2 3,58^\circ \right)^2}} = 0,941\)
där \(\displaystyle f_{\text{c,90,d}}= \frac{0,8\cdot2,5}{1,25} = 1,60\:\text{MPa}\)
\(\displaystyle k_{\text{m,}\alpha} \cdot f_{\text{m,d}} = 0,941 \cdot 19,2 = 18,06 \:\text{MPa}>\sigma_{\text{m,d}} = 17,04 \:\text{MPa}\)
I hjässzonen (inom området 0,5·hnock från hjässan) bör böjspänningarna uppfylla följande uttryck:
\(\displaystyle \sigma_{\text{m,d}} \leq k_\text{r} \cdot f_{\text{m,d}}\)
För sadelbalkar är kr = 1,0.
Spänningarna i hjässzonen bör beräknas enligt:
\(\displaystyle \sigma_{\text{m,d}} = k_\text{l} \frac{6 \cdot M_{\text{nock,d}}}{b\cdot {h_{\text{nock}}}^2}\)
där \(\displaystyle k_\text{l} = k_\text{1} + k_\text{2} \cdot\left(\frac{h_{\text{nock}}}{r}\right) + k_\text{3} \cdot \left(\frac{h_{\text{nock}}}{r}\right)^2 + k_\text{4} \cdot \left(\frac{h_{\text{nock}}}{r}\right)^3\)
För sadelbalk är \(\displaystyle k_\text{l} = k_\text{1} = 1 + 1,4 \cdot \tan 3,5^\circ + 5,4 \cdot \tan^23,5^\circ = 1,10\)
Mnock,d = Ra · I / 2 - qd · I2 / 2 = 167,65 · 21 / 2 - 16,166 · 212 / 2 = 869,18 kNm
\(\displaystyle \sigma_{\text{m,d}} =k_\text{1} \cdot \frac{6 \cdot M_{\text{nock,d}}}{b \cdot {h_{\text{nock}}}^2} = 1,10 \cdot\frac{6 \cdot 869,18 \cdot 10^6 }{190 \cdot 1440^2} = 14,66 \:\text{MPa}<19,2\:\text{MPa}\)
Dimensioneringsvillkoret är således uppfyllt i balkens överkant!
Lasteffekt- tvärdragspänningar
I nockpartiet uppträder tvärdragspänningar. Med hänsyn till att draghållfastheten tvärs fiberriktningen är starkt beroende av den belastade volymen rekommenderas att värdet korrigeras genom multiplikation med en volymfaktor.
I hjässzonen bör enligt Eurokod 5 den största dragspänningen vinkelrätt fiberriktningen, \(\sigma_{t,90,d}\) uppfylla villkoret:
\(\displaystyle \sigma_{\text{t,90,d}} \leq k_{\text{dis}} \cdot k_{\text{vol}}\cdot f_{\text{t,90,d}}\)
Hjässzonens volym är ungefär:
\(\displaystyle V = h_{\text{nock}} \cdot h_{\text{nock}} \cdot b-(0,5 \cdot h_{\text{nock}})\cdot(0,5 \cdot h_{\text{nock}} \cdot \tan3,58^\circ)\cdot b\)
\(\displaystyle V = 1,440 \cdot 1,440 \cdot 0,190-(0,5 \cdot 1,440)\cdot(0,5 \cdot 1,440 \cdot \tan3,58^\circ)\cdot 0,190 = 0,388\) m3
\(\displaystyle k_{\text{vol}} = \left(\frac{V_\text{0}}{V}\right)^{0,2} = \left(\frac{0,01}{0,388}\right)^{0,2} = 0,481\) med referensvolymen V0 = 0,01 m3
\(\displaystyle k_\text{dis} = 1,4\) för sadelbalkar
Enligt Eurokod 5 bör den största dragspänningen vinkelrätt fiberriktningen av böjmomentet beräknas som:
\(\displaystyle \sigma_{\text{t,90,d}}=k_\text{p} \cdot \frac{6 \cdot M_{\text{nock,d}}}{b \cdot {h_{\text{nock}}}^2} = 0,2 \cdot \tan3,58^\circ \cdot \frac{6 \cdot 869,18 \cdot 10^6}{190 \cdot 1440^2} = 0,17 \:\text{MPa}\)
\(\displaystyle f_{\text{t,90,d}} = \frac{k_{\text{mod}} \cdot f_{\text{t,90,k}}}{\gamma_\text{m}} = \frac{0,8\cdot 0,50}{1,25} =0,320 \:\text{MPa}\)
\(\displaystyle k_{\text{dis}} \cdot k_{\text{vol}} \cdot f_{\text{t,90,d}} = 1,4 \cdot 0,481 \cdot 0,320 = 0,216 \:\text{MPa} > \sigma_{\text{t,90,d}} = 0,17 \:\text{MPa}\)
4. Kontroll av bruksgränstillståndet
Funktionskriterier
Kontroll av bruksgränstillstånd kan ske enligt flera olika funktionskriterier. Deformationerna hos en konstruktion under påverkan av laster ska begränsas med hänsyn till risken för skador samt med hänsyn till funktionskrav och estetiska krav. Gränsvärden för nedböjningar bestäms från fall till fall, och gränsvärden med hänsyn till utseende eller komfort kan anges av byggherren.
Vid dimensionering av takkonstruktioner med yttertak av trapetsprofilerad plåt innebär dimensionering mot permanent skada bland annat att man begränsar takbalkarnas nedböjning, så att inte funktionen hos det utvändiga tätskiktet äventyras genom att den resulterande taklutningen blir för liten. Vid taklutning 1:16 brukar man i sådana fall godta att maximal nedböjning uppgår till 1/110-del av spännvidden det vill säga i detta fall 190 mm. Beträffande dimensionering mot permanent skada på eventuella icke bärande mellanväggar, se exempel jämnhög rak balk av fanerträ.
Vid dimensionering mot tillfällig olägenhet brukar man acceptera en maximal nedböjning hos takbalkar i industrilokaler som motsvarar L/150, det vill säga i detta fall 140 mm.
Permanent skada - lastvärden och lasteffekter
Slutlig nedböjning av karakteristisk lastkombination kan symboliskt skrivas:
Wfin = wfin,g + wfin,q
där
wfin,g = winst,g (1+kdef),
wfin,q = winst,q (1+ψ2∙kdef) för snölasten där ψ2 är faktor för kvasipermanentvärdet (ψ2=0,1)
kdef = 0,60 för klimatklass 1.
Nedböjningen i fältmitt hos en symmetrisk sadelbalk, belastad med jämnt utbredd last, kan beräknas med hjälp av följande formel:
\(\displaystyle w=\frac{5}{384} \cdot \frac{q \cdot l^4}{E_\text{0,mean}\cdot I_\text{e}}\)
där tröghetsmomentet Ie beräknas med en ekvivalent balkhöjd
he = h + 0,33 · ℓ · tan α (h är balkhöjden vid upplag)
Med aktuella värden blir
he = 784 + 0,33 · 21000/16 = 1217 mm
Enligt föregående gäller
g = 0,44 · 6 · 1,1 = 2,904 kN/m
q1k = 1,28 · 6 · 1,1 = 8,451 kN/m
Nedböjningen blir
\(\displaystyle w_{\text{inst,g}} = \frac{5}{384} \cdot \frac{2,901 \cdot 10^3 \cdot 21^4 \cdot 12}{13000 \cdot 10^6 \cdot 0,190 \cdot 1,217^3} = 19,8 \:\text{mm}\)
\(\displaystyle w_{\text{inst,q}} = \frac{5}{384} \cdot \frac{8,45 \cdot 10^3 \cdot 21^4 \cdot 12}{13000 \cdot 10^6 \cdot 0,190 \cdot 1,217^3} = 57,7 \:\text{mm}\)
wfin,g = winst,g (1+kdef) = 19,8 · (1 + 0,60) = 31,7 mm
wfin,q = winst,q (1+ψ2∙kdef) = 57,7 · (1 + 0,10·0,60) = 61,1 mm
wfin = wfin,g + wfin,q = 31,7 + 61,1 = 92,9 mm < 190 mm
Dimensioneringsvillkoret är således uppfyllt!
Tillfällig olägenhet - lastvärden och lasteffekter
Slutlig nedböjning av frekvent lastkombination kan symboliskt skrivas:
Wfin = wfin,g + wfin,q
där
wfin,g = winst,g (1+kdef),
wfin,q = winst,q (ψ1+ψ2∙kdef) för snölasten där ψ1 är faktor för frekventa värdet (ψ1=0,3) och ψ2 för kvasipermanentvärdet (ψ2=0,1)
kdef = 0,60 för klimatklass 1.
wfin,g = winst,g (1+kdef) = 19,8 · (1 + 0,60) = 31,7 mm
wfin,q = winst,q (ψ1+ψ2∙kdef) = 57,7 · (0,30 + 0,10·0,60) = 20,8 mm
wfin = wfin,g + wfin,q = 31,7 + 20,8 = 52,5 mm < 140 mm
Dimensioneringsvillkoret är alltså uppfyllt!
5. Vald dimension
Välj sadelbalk 190x784–1440–784x21000 GL30c utan överhöjning.
