Bild 1.
1. Förutsättningar
Taklutning: α = 14° < 30°
Snölastens karakteristiska lastvärde: sk = 2,5 kN/m2
Snölastens formfaktor: µ = 0,8 (vi förutsätter här pulpettak utan möjlighet till framtida ändring till sadeltak), Lastvaraktighetsklass medel (M)
Egentyngd av takbeläggning och takåsar: gk = 0,40 kN/m2
Säkerhetsklass: 2 (γd = 0,91)
Klimatklass: 2
Centrumavstånd mellan takbalkar: sT = 7 200 mm
Centrumavstånd mellan takåsar: sÅ = 2 400 mm (i takets lutning)
2. Preliminär dimensionering
Preliminär dimension för takåsarna bestäms enligt Limträhandbok. För en rak kontinuerlig balk upplagd över flera stöd rekommenderas en minsta höjd av L/20 = 7 200/20 = 360 mm, bredden väljs till 78 mm. Som preliminär dimension för takåsarna av limträ väljs dimensionen 90x360 mm2 i kvalitet GL30c.
3. Kontroll av brottgränstillståndet
Lasteffekter
Säkerheten mot brott kontrolleras för lastfallet med snö och egentyngd då snö är huvudlast Dimensionerande lastvärde blir
\(\bar{q}_\text{d}=0,91 \cdot 0,89 \cdot 1,35 \cdot g_\text{k} + \gamma_\text{d} \cdot 1,5
\cdot \mu \cdot s_\text{k} = 0,91 \cdot 0,89 \cdot 1,35 \cdot 0,40 + 0,91
\cdot1,5 \cdot 0,8 \cdot 2,5 = 3,16 \:\text{kN/m}^2\)
Varje takås kommer att belastas med linjelasten
\(q_\text{d} = \bar{q}_\text{d} \cdot s_{\text{Å}}= 3,16\cdot 2,4\cdot cos(14°) = 7,37 \:\text{kN/m}\)
Då takets lutning överstiger 1:10 måste, enligt Limträhandbok, sned böjning för takåsarna beaktas. Linjelasten på takåsen komposantuppdelas i två linjelaster verkande i x-led och y-led.
\({q_\text{d}}^y=q_\text{d} \cdot \sin\alpha = 7,37 \cdot \sin14^\circ = 1,78 \:\text{kN/m}\)
\({q_\text{d}}^z=q_\text{d} \cdot \cos\alpha = 7,37 \cdot \cos14^\circ = 7,16 \:\text{kN/m}\)
Dimensionerande moment i ytterfack för ett omlottskarvat åssystem kan beräknas enligt Limträhandbok.
\(M_{\text{y,d}} = 0,080 \cdot {q_\text{d}}^z \cdot {s_\text{T}}^2 = 0,080 \cdot 7,16 \cdot
{7,2}^2 = 29,7 \:\text{kNm}\)
\(M_{\text{z,d}} = 0,080 \cdot {q_\text{d}}^z \cdot {s_\text{T}}^2 = 0,080 \cdot 1,78 \cdot
{7,2}^2 = 7,40 \:\text{kNm}\)
I innerfack för en kontinuerligt omlottskarvad ås gäller enligt Limträhandbok.
\(M_{\text{y,d}} = 0,046 \cdot {q_\text{d}}^z \cdot {s_\text{T}}^2 = 0,046 \cdot 7,16 \cdot {7,2}^2
= 17,1 \:\text{kNm}\)
\(M_{\text{z,d}} = 0,046 \cdot {q_\text{d}}^z \cdot {s_\text{T}}^2 = 0,046 \cdot 1,78 \cdot {7,2}^2
= 4,3 \:\text{kNm}\)
I detta fall dimensioneras hela åsen för momentet i ytterfacket. Alternativt kan systemet anordnas med olika dimensioner i ytter- och innerfack, oftast anordnas då åsarna med samma höjd i alla fack. redden i ytterfacken måste då ökas för att uppta det större momentet.
\( \sigma_{\text{m,y,d}} = \displaystyle \frac{M_{\text{y,d}}}{W} = \frac{29,7 \cdot 10^6 \cdot 6}{90 \cdot 360^2} = 15,3 \:
\text{MPa} \)
\(\sigma_{\text{m,z,d}} = \displaystyle \frac{M_{\text{z,d}}}{W} = \frac{7,4 \cdot 10^6 \cdot 6}{360 \cdot 90^2} = 15,3 \:
\text{MPa}\)
Bärförmåga
Takbeläggningen antas i detta fall vara nog styv för att avstyva takåsen så att vippning kan förhindras, kcrit = 1,0. Den dimensionerande hållfastheten i böjning beräknas för materialet Limträ (GL30c), klimatklass 2 och lastvaraktighetsklass medel. Eftersom tvärsnittets höjd är < 600 mm får man även öka bärförmågan i böjning på grund av storlekseffekter.
Dimensionerande värde på böjhållfastheten beräknas.
fm,k = 30,0 MPa (CE GL30c)
kmod = 0,8 (lastvaraktighet medel, klimatklass 2)
γm = 1,25 (limträ)
\(\displaystyle {\kappa_\text{h}}^y = min \begin{cases} \left( \displaystyle \frac{600}{h} \right)^{0,1} = \displaystyle \left(\frac{600}
{360} \right)^{0,1} = 1,05 \\ 1,1 \end{cases}\) (Höjd = 360 mm)
\(\displaystyle {\kappa_\text{h}}^z = min \begin{cases} \left( \displaystyle \frac{600}{h} \right)^{0,1} = \displaystyle \left(\frac{600}{90}
\right)^{0,1} = 1,1 \\ 1,1 \end{cases}\) (Höjd = 90 mm)
Dimensionerande bärförmåga i böjning i respektive riktning kan nu beräknas som
\(\displaystyle f_{\text{m,y,d}} = {\kappa_\text{h}}^y \cdot \frac{k_{\text{mod}} \cdot f_{\text{m,k}}}{\gamma_\text{m}} = 1,05 \cdot
\frac{0,8 \cdot 30,0}{1,25} = 20,2 \:\text{MPa}\)
\(\displaystyle f_{\text{m,z,d}} = {\kappa_\text{h}}^x \cdot \frac{k_{\text{mod}} \cdot f_{\text{m,k}}}{\gamma_\text{m}} = 1,1 \cdot
\frac{0,8 \cdot 30,0}{1,25} = 21,1 \:\text{MPa}\)
Säkerheten mot brott kontrolleras med dimensioneringsvillkoren
\(\displaystyle \left(\frac{\sigma_{\text{m,y,d}}}{f_{\text{m,y,d}}}\right) + 0,7 \cdot
\left(\frac{\sigma_{\text{m,z,d}}}{f_{\text{m,z,d}}}\right) \leq 1,0\)
\(\displaystyle 0,7 \cdot \left(\frac{\sigma_{\text{m,y,d}}}{f_{\text{m,y,d}}}\right) +
\left(\frac{\sigma_{\text{m,z,d}}}{f_{\text{m,z,d}}}\right) \leq 1,0\)
Med insatta värden fås
\(\displaystyle \left(\frac{15,3}{20,2}\right) + 0,7 \cdot \left(\frac{15,2}{21,1}\right) = 1,26 >
1,0\)
\(\displaystyle 0,7 \cdot \left(\frac{15,3}{20,2}\right) + \left(\frac{15,2}{21,1}\right) = 1,25 >
1,0\)
Villkoret för säkerhet är ej uppfyllt!
För att minska den last som påförs i åsen veka riktning (z-led) kan dragband anordnas som därvid fungerar som ett upplag.
Bild 2.
Om vi anordnar ett dragband mitt i facket kommer det maximala momentet i z-led att reduceras till
\(\displaystyle M_{\text{z,d}}=0,08 \cdot 1,78 \cdot \left(\frac{7,2}{2} \right)^2 = 1,85 \:\text{kNm} \)
\(\displaystyle \sigma_{\text{m,z,d}}= \frac{M_{\text{z,d}}}{W}= \frac{1,89 \cdot 10^6 6}{360 \cdot 90^2} =3,81 \:\text{kNm}\)
Dimensioneringsvillkoren ger nu
\(\displaystyle \left( \frac{15,3}{20,2} \right) + 0,7 \cdot\left(\frac{3,81}{21,1} \right) = 0,88 < 1,0\)
\(\displaystyle 0,7 \cdot \left( \frac{15,3}{20,2} \right) + \left(\frac{3,81}{21,1} \right) = 0,71 < 1,0\)
Villkoret för säkerhet är nu uppfyllt!
Kontroll av innerfacken visar att dimensionen 78x360 GL28sc klarar sig utan dragbandsupphängning.
Observera att dragbandet måste dimensioneras för ett krafttillskott från samtliga åsar, i detta fall skulle vi erhålla följande kraft i dragbandet
\(\displaystyle N_{\text{Sd}} = {q_\text{d}}^z \cdot \frac{L}{2} \cdot n \)
där n är antalet åsar som hängs upp i dragbandet. I detta fall belastar totalt 5 åsar dragbandet, här räknas med att nockåsen och kantåsen endast påverkas av en halv belastningsyta. För att undvika att nockåsen utsätts för en tillskottskraft i sin veka riktning måste en noggrann infästning av dragbandet utföras. Dragbandet ska överföra krafterna från åsarna, genom dragbandet, till takbalken, dragbandet måste därför dras förbi nocken och fästas i takbalken.
Kontroll av skjuvning
Dimensionerande tvärkraft uppträder vid takåsarnas upplag mot takbalkarna. Största tvärkraft för en kontinuerlig ås upplagd på flera stöd kan bestämmas enligt lämplig formelsamling.
\(\displaystyle V_{\text{zd}} = 0,6053 \cdot {q_\text{d}}^z \cdot s_\text{T} = 0,6053 \cdot 7,16 \cdot 7,2 = 31,2 \:\text{kN} \)
Skjuvspänning beräknas
\(\displaystyle \tau_\text{d} = \frac{1,5 \cdot V_{\text{zd}}}{A} = \frac{1,5 \cdot 31,2 \cdot 10^3}{90 \cdot 360}=1,44 \:\text{MPa}\)
Dimensionerande värde på skjuvhållfastheten blir med
fv,k = 3,5 MPa (GL30c))
kmod = 0,8 (lastvaraktighet medel, klimatklass 2)
γm = 1,25 (limträ)
Enligt allmänt råd i EKS 11 (BFS 2019:1), bör kcr enligt nedan användas för limträ som inte är exponerat för nederbörd och solstrålning.
\(\displaystyle k_{\text{cr}} = min \begin{cases} \displaystyle \frac{3,0}{f_{\text{v,k}}} \\ 1,0 \end{cases} \)
\(\displaystyle \frac{3,0}{f_{\text{v,k}}} = \frac{3,0}{3,5} = 0,857 < 1,0 \:\text{alltså}\: k_{\text{cr}}=0,857 \)
\(\displaystyle f_{\text{v,d}}=\frac{k_{\text{cr}} \cdot k_{\text{mod}} \cdot f_{\text{v,k}}}{\gamma_\text{m}} = \frac{0,857 \cdot 0,8 \cdot 3,5}{1,25}
= 1,92\:\text{MPa} > 1,44 \:\text{MPa} \)
Dimensioneringsvärdet \( \tau_d < f_{\text{v,d}} \) är uppfyllt!
4. Kontroll av bruksgränstillståndet
Detta kan ske om så erfordras, se exempel Jämnhög rak balk av fanerträ.
