7.3.3 Krökta balkar och bumerangbalkar

Höjden vid upplag bör inte vara mindre än l ⁄ 30 för båda balktyperna. De krökta balkarnas höjd vid nocken är vanligtvis l ⁄ 20 – l ⁄ 15 och bumerangbalkarnas l ⁄ 15 – l ⁄ 10. Bredden bör inte vara mindre än 1⁄7 av balkhöjden vid spännviddens fjärdedelspunkt. Krökningsradien, r, se figur 7.11, väljs vanligtvis större än 10 m.

Dessa balkars vertikala nedböjning saknar vanligtvis betydelse. Den horisontella förskjutningen vid upplagen kan dock vara förhållandevis stor varför man ska säkerställa att förskjutningen kan ske fritt och att det inte uppstår oförutsedda horisontalkrafter som belastar stödkonstruktionerna, det vill säga väggar eller pelare.

Tvärsnittet med den största böjspänningen befinner sig på avståndet x₀ från upplag. Dess läge kan bestämmas med hjälp av ekvation 7.2. Avgörande för den krökta balkens och bumerangbalkens bärförmåga är vanligtvis dess bärförmåga för dragspänningar vinkelrätt mot fiberriktningen, vilka för det mesta förorsakas av laster som alstras av tyngdkraften, men också av träets fuktvariationer. Dessa spänningar är störst i balkens nockområde, detta område är märkt med (1) i figur 7.11.

Enligt Eurokod 5 kan den dimensionerande dragspänningen vinkelrätt mot fiberriktningen som förorsakas av det dimensionerande böjmomentet vid nocken, M_ap,d, beräknas enligt följande, se symbolerna i figur 7.11:

7.13    \({\sigma _{\rm t,90,d}} = {k_\rm p} \cdot \frac{{{M_{\rm ap,d}}}}{{{W_{\rm ap}}}}\)

där:

7.14    \({k_\rm p} = {k_5} + {k_6} \cdot \left( {\frac{{{h_{\rm ap}}}}{r}} \right) + {k_7} \cdot {\left( {\frac{{{h_{\rm ap}}}}{r}} \right)^2}\)

7.15    \({k_5} = 0,2 \cdot \tan {\alpha _{\rm ap}}\)

7.16    \({k_6} = 0,25 - 1,5 \cdot \tan {\alpha _{\rm ap}} + 2,6 \cdot {\tan ^2}{\alpha _{\rm ap}}\)

7.17    \({k_7} = 2,1 \cdot \tan {\alpha _{\rm ap}} - 4 \cdot {\tan ^2}{\alpha _{\rm ap}}\)

k_p är en faktor som bestämts med hjälp av finita elementberäkningar och definieras som förhållandet mellan den dimensionerande spänningen vinkelrätt mot fiberriktningen och den dimensionerande böjspänningen vid nocken. Figur 7.12 visar värden på k_p som funktion av h_ap ⁄ r. Separata kurvor är ritade för olika vinklar, α_ap, vid nocken. Materialet är limträ i hållfasthetsklass GL30c.

Villkoret för spänningen vinkelrätt mot fiberriktningen är likadant som för snedsågade balkar, se ekvation 7.9.

Böjspänningen vid nocken kan ibland vara utslagsgivande för krökta balkar med stor krökningsradie; å andra sidan är den mycket sällan kritisk för bumerangbalkar. Enligt Eurokod 5, kan böjspänningen som förorsakas av det dimensionerande böjmomentet vid nocken, M_ap,d, beräknas enligt följande:

7.18    \({\sigma _{\rm m,d}} = {k_l} \cdot \frac{{{M_{\rm ap,d}}}}{{{W_{\rm ap}}}}\)

där:

7.19    \({k_l} = {k_1} + {k_2} \cdot \left( {\frac{{{h_{\rm ap}}}}{r}} \right) + {k_3} \cdot {\left( {\frac{{{h_{\rm ap}}}}{r}} \right)^2} + {k_4} \cdot {\left( {\frac{{{h_{\rm ap}}}}{r}} \right)^3}\)

7.20    \({k_1} = 1 + 1,4 \cdot \tan {\alpha _{\rm ap}} + 5,4 \cdot {\tan ^2}{\alpha _{\rm ap}}\)

7.21    \({k_2} = 0,35 - 8 \cdot \tan {\alpha _{\rm ap}}\)

7.22    \({k_3} = 0,6 + 8,3 \cdot \tan {\alpha _{\rm ap}} - 7,8 \cdot {\tan ^2}{\alpha _{\rm ap}}\)

7.23    \({k_4} = 6 \cdot {\tan ^2}{\alpha _{\rm ap}}\)

Korrektionsfaktorn k_l har bestämts med hjälp av finita elementberäkningar och beaktar balkens geometri. Figur 7.13 visar värden på k_l som funktion av h_ap ⁄ r. Separata kurvor är ritade för olika vinklar, α_ap, vid nocken.

Böjhållfastheten för krökta lameller ska reduceras på grund av egenspänningarna som uppkommer vid tillverkningen när lamellerna böjs. Detta kan göras så att grundvärdet för böjhållfastheten, f_m,d, multipliceras med reduktionsfaktorn k_r.

7.24    \({\sigma _{\rm m,d}} = {k_\rm r} \cdot {f_{\rm m,d}}\)

Värdet på k_r minskar när förhållandet r_in ⁄ t minskar, se tabell 7.2.

I normala fall omfattar dimensionering av krökta balkar och bumerangbalkar följande kontroll:

• Böjkapacitet vid avståndet x₀ från upplag, för bumerangbalkar och krökta balkar med varierande tvärsnittshöjd, ibland ska också böjkapaciteten vid nocken kontrolleras.
• Skjuvkapacitet och kapacitet för tryck vinkelrätt mot fiberriktningen vid upplag.
• Tvärdragkapacitet vid nocken.
• Vippning som vanligtvis kontrolleras mellan två sidostagningspunkter, del för del. Krökta balkar kan approximativt antas vara raka mellan två sådana sidostagningspunkter.

Figur 7.11 Böjspänningar σ_m,0 och dragspänningar vinkelrätt mot fiberriktningen σ_t,90 för: en krökt balk (vänster) och en bumerangbalk (höger).

Ulls hus, Uppsala.

Figur 7.12 Faktorn k_p enligt Eurokod 5 för olika värden på h_ap ⁄ r, limträ i hållfasthetsklass GL30c.

Figur 7.13 Faktorn k_l enligt Eurokod 5 för olika värden på h_ap ⁄ r, limträ i hållfasthetsklass GL30c.

Tabell 7.2 Reduktionsfaktorn för böjhållfasthet k_r enligt Eurokod 5 som funktion av förhållandet r_in ∕ t, där r_in är inre krökningsradien och t är lamell­­tjockleken.

rin ∕ t	kr
≥ 240	1
< 240	0,76 + 0,001 · rin  ∕ t